Schon während seines Studiums der angewandten Theaterwissenschaften in Gießen arbeitete Martin Apelt regelmäßig als Regie- und Ausstattungsassistent, Inspizient und Requisiteur am Stadttheater Gießen wie auch den Bad Hersfelder Festspielen. Erste Verträge als Bühnen- und Kostümbildner fallen ebenfalls in diesen Zeitraum. Zwei Jahre als Regie- und Dramaturgieassistent am Deutschen Theater in Göttingen schlossen sich an. 1991, sechs Monate nach der deutschen Wiedervereinigung, ging er als leitender Dramaturg für Presse- und Öffentlichkeitsarbeit an das Landestheater Eisenach.
Es folgten Engagements als Dramaturg an den Bühnen der Stadt Bielefeld sowie als Chefdramaturg am Theater Dortmund. Als Chefdramaturg und Spartenleiter des Schauspiels ging er im Anschluss zunächst zwei Jahre an das Staatstheater Mainz, gefolgt von drei Jahren in gleicher Funktion an das Stadttheater Gießen. Von 2004 bis 2014 war Apelt als Schauspieldirektor am Staatstheater Darmstadt engagiert.
Er arbeitet als Dramaturg, Regisseur, Bühnen- und Kostümbildner. Die szenische Umsetzung nicht dramatischer Texte wie auch das Bespielen von Räumen und Orten jenseits der traditionellen Guckkastenbühne sind ebenso ein Arbeitsschwerpunkt gewesen wie das Entdecken junger oder das Wiederentdecken vergessener Autoren. Juroren- und Kuratorentätigkeiten, Festivalleitung und Lehraufträge an verschiedenen Universitäten und Hochschulen waren zusätzlich ein wesentlicher Bestandteil seiner Arbeit.
Seit der Spielzeit 2020/2021 ist er Schauspieldirektor des Schleswig-Holsteinischen Landestheaters.